Алексей Можаев родился 5 октября 1918 года в деревне Вторая Сосновка Саратовской области. В 1946 году окончил ЛИЖСА имени И. Е. Репина, мастерская Бориса Иогансона. Занимался у Михаила Бернштейна, Александра Любимова, Исаака Бродского, Генриха Павловского.Участник выставок с 1936 года. Член ЛССХ с 1946 года. Писал портреты, пейзажи, жанровые и тематические композиции. Персональные выставки в Ленинграде (1985, 1989). Произведения Алексея Можаева находятся в музеях и частных собраниях в России, США, Франции, Японии и других странах.